Linear Algebra V: Quadratic Forms 04: Positive Definite Quadratic Forms

§ 4 正定二次型
在实二次型中,正定二次型占有特殊的地位.作为本章的结束,我们给出它的定义以及常用的判别条件.
定义 4 实二次型 f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) 称为正定的,
如果对于任意一组不全为零的实数 c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}, 都有
f\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)>0.
显然,二次型
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}
是正定的, 因为只有在 c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 时,
c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+\cdots+c_{n}^{2} 才为零.一般地,
读者不难验证,实二次型
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=d_{1} x_{1}^{2}+d_{2} x_{2}^{2}+\cdots+d_{n} x_{n}^{2}
是正定的当且仅当 d_{i}>0(i=1,2, \cdots, n).
设实二次型
$f\left(x_{1}, x_{2}, \c