线性代数组合 - Gilbert Strang 教程（第二部分）

第十四课时：正交向量与子空间

结论：

• 行空间(r)与零空间(n-r)是正交的
• 列空间(r)与左零空间(m-r)是正交的

正交向量

• 在高维空间中, 任意向量之间的角度等于直角
• 当且仅当两个向量满足 X^TY=0 时, 这两个向量互相垂直
• 零向量与任意向量都互相垂直

正交子空间

定理：当子空间 S 与子空间 T 正交时，则任取S中的任意向量x和T中的任意向量y均满足内积为零。

性质：如果两个子空间正交，则这两个子空间不会存在某个非零向量同时属于它们（因为每个子空间中的向量都与其自身的正交补空间中的向量正交），它们的唯一共同点就是零向量。

例子：

• 行（range）与零（null）空间构成了将n-维向量完全划分开来的两个互相垂直的空间，在这种划分下两者的维度之和等于n，并被称为属于n-维向量所处的空间中的正交补集（orthogonal complements of the n-dimensional vector space）。
  这个结论可以直接从零（null）空间定义中推导出矩阵方程Ax=0成立。
• 列（column）与左零（left null）的空间则将m-维向量完全划分开来，并被划分为两个互相垂直的空间，在这种划分下两者的维度之和等于m，并被称为属于m-维向量所处的空间中的正交补集（