大数定律及中心极限定理

1. 大数定律

切比雪夫大数定律 是统计学中用于估计期望值的理论基础。
它表明，在大量独立随机变量的情况下，
这些变量之和除以数量会趋近于其期望值。
这一规律为基于样本数据进行科学推断提供了重要依据，
并以其严谨性和广泛适用性著称。

2. 中心极限定理

中心极限定理：研究独立随机变数之和趋近于正态分布形式的一系列命题的统称。
它是数理统计学与误差分析的重要理论基础之一，在阐述大量独立随机变数累加后其积累概率密度函数逐渐趋近于正态分布在许多实际问题中得到了广泛应用的情况下提出了相关条件。
在自然界与社会生产领域中某些现象通常会受到许多相互独立的小型随机因素的影响这些微小的因素叠加起来往往会导致总体表现接近于服从正态分布在实际应用中这一规律被广泛应用于统计推断误差估计以及金融风险评估等多个方面。

2.1 独立同分布的中心极限定理

假设一组独立同分布的随机变量序列 X_1,X_2,\dots,X_n,\dots 满足相同的概率分布，则其中每个随机变量均具有有限的期望值 \mu 和非零的方差 \sigma^2 = \mu^2（其中 \sigma^2 \neq 0）。因此可得随机变量

的分布函数 F_n(x) 对于任意实数 x ，都有

根据上述定理可知

由此可见：**在独立同分布的情