泛函分析基础7-1-度量空间3-连续映射1：在点x₀处连续（采用ε-δ定义）T是从X到Y的映射对于任意给定的正数ε都存在一个与之对应的正数δ使得当所有满足d(x,x₀)<δ的点时都有d(T(x),T(x₀))<ε因此T在点x₀处连续

由于函数在某点处的连续性基于极限理论而被定义, 同样地, 我们也可以直接采用 ε-δ 语言进行表述. 即:对于任意给定的 ε>0, 存在 δ>0, 满足当 |x−x₀|<δ 时

\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon, \quad\quad(2)

则称函数 f 在点 x_{0} 连续.

《数学分析》<>

仿照直线上函数连续性的定义，我们引入度量空间中映射连续性的概念

定义

设度量空间X=(X,d)与Y=(Y,\tilde{d})之间存在映射T:X→Y。给定x_0 \in X及任一正数\varepsilon>0时，则存在正数\delta=\delta(\varepsilon)>0满足以下条件：对于所有满足距离d(x, x_0) < \delta的点x \in X而言，则有\tilde{d}(T(x), T(x_0)) < \varepsilon\text{成立}。\text{即当}x\text{趋近于}x_0\text{时}T(x)\text{趋近于}T(x_0)。

\tilde { d } \left( T x , T x _ { 0 } \right) < \varepsilon ,

则称 T 在 x _ { 0 } *连续