《高等代数学》（姚慕生），例1.5.8

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• 题目
• 证明

题目

求证该矩阵\mathbf{A}的行列式\left| A \right|等于(a^3 + b^3)与另一特定排列矩阵\left|\begin{matrix}x&y&z\\y&z&x\\z&x&y\end{matrix}\right|的行列式的乘积。具体而言，在计算\left|\begin{matrix}ax + by&ay + bz&az + bx\\ay + bz&az + bx&ax + by\\az + bx&ax + by&ay + bz\end{matrix}\right|时，我们可以将其每一行视为a和b与对应变量x, y, z的线性组合，并通过适当的行交换操作将其转化为标准形式。经过一系列代数运算后可得结果为(a^3 + b^3)\times\left|\begin{matrix}x&y&z\\y&z&x\\z&x&y\end{matrix}\right|。

证明

注意到\left| A \right|中的每个元素都是两个数的和形式，因此基于行列式的拆解性质（可参考博文《《高等代数学》（姚慕生），习题1.1》的第6题 ），我们打算将\left| A \right|拆分成{{2}^{3}}=8个行列式的和。记
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