高等代数（二）-行列式08：拉普拉斯定理及行列式的乘法规则

§ 8 拉普拉斯( Laplace) 定理 - 行列式的乘法规则
本节将介绍有关行列式的拉普拉斯定理，
该定理可视为对行列式按单行展开公式的进一步拓展。
首先，我们需要对余子式与代数余子式的概念进行扩展。
定义 9 在 n 阶行列式 D 中任意选取 k 行与 k 列 (k \leqslant n),
这些行与列交汇处的 k^{2} 个元素按照原始排列组成一个 k 阶行列式
M, 这个行列式被称为行列式 D 的 k 阶子式。当 k < n 时，若在 D 中去除这 k 行与列后，剩余元素仍按照原始顺序构成一个 n-k 阶行列式 M^{\prime}, 则此行列式称为
k 阶子式 M 的余子式。
从定义可以直观看出，M^{\prime} 同样是 M 的余子式，因此两者可被称作是一组互为补集的子式。
例 1 在如下所示的 4 阶行列式中：
D=\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right|
若选择第1、3行和第2、4列，则可得到一个二阶子式：
$$M=\left|\begin{array}