偏微分方程图像处理系列——连续与离散算子的对应关系

在先前的讨论中，已提及通过某些函数空间来表征图像，因此图像自然能够展现出这些函数空间中函数所具备的特性。首先需要提及的是梯度运算，在连续函数中对应的导数可以类比为离散图像中的梯度运算。假设F(x,y)为图像所对应的某一连续函数（至少是几乎处处连续的），I(m,n)则表示离散图像，那么可以作如下理解：

x方向上的导数f1(x,y)可表示为：

f1(x,y) = lim_t (F(x+t,y) - F(x,y))/t （t趋近于0）<=====> 向前差分格式：I_x(i,j)= I(i+1,j) - I(i,j)

f1(x,y) = lim_t (F(x,y) - F(x-t,y))/t （t趋近于0）<=====> 向后差分格式：I_x(i,j)= I(i,j) - I(i-1,j)

f1(x,y)= lim_t (F(x+t,y)-F(x-t,y))/(2t) （t趋近于0）<=====> 中心差分格式：I_x(i,j)= (I(i+1,j)-I(i-1,j))/2

y方向上的导数f2(x,y)具有类似的表达方式。

因此，F(x,y)的导数可以表示为向量(f1(x,y), f2(x,y))^T，而I(m,n)的导数则对应为(I_x(i,j), I_y(i,j))。

设g(x,y)=(h(x,y), l(x,x)) 为一个向量函数，即对于每个点（x, y）都对应一个向