复变函数论1-2: 复平面ℂ上的点集. 2.3 定义 可求长曲线 设曲线C由参数方程 z = z(t) 给出,其中{tₙ}为任意实数序列,对应于该曲线上的点列为{z_j = z(t_j)}. 若级数∑|Δz_j|=∑|z(t_j)-z(t_{j−1})|有界,则称该曲线C为可求长曲线,其上确界即为曲线C的长度.

定义1.8的阐述

设连续弧 A B 的参数表达式为

z=z(t) \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta),

任意选取实数序列 \left\{t_{n}\right\} :

\alpha=t_{0}

并进一步考察弧 A B 上对应的点序列:

z_{j}=z\left(t_{j}\right) \quad(j=0,1,2, \cdots, n),

将这些点依次用折线 Q_{n} 相连，折线 Q_{n} 的总长度可表示为：

I_{n}=\sum_{j=1}^{n}\left|z\left(t_{j}\right)-z\left(t_{j-1}\right)\right| .

若对于所有满足条件的序列 (1.17)，所对应的 I_{n} 均存在上界，则称弧 A B 为可度量长度的。此时，所有可能的 I_{n} 值中的最大上界 L=\sup I_{n} 被定义为弧 A B 的总长度。