《实变函数简明教程》第1章 集合与点集 存在可列个互不相交有界闭集其并非闭集的例子

《实变函数简明教程》, 第一章: 集合与点集, 对于可数个互不相交且均为有界闭合集合的情况而言, 它们的并未必形成一个闭合空间; 这可以通过构造一个具体的反例来说明

• 待分析命题
• 一个反例

待分析命题

令集合F为无穷多个有界闭集{{F}_{k}}的并集。令这些有界闭集满足互不相交的条件，则上述情况表明，在此情形下集合F未必构成一个闭集。

一个反例

我们将研究范围缩小在闭区间F_0:=\left[ 0,1 \right]\subset {{\mathbb{R}}^{1}}。

第一步，请将区间\left[ 0,1 \right]划分为三个子区间，并分别标记为{{F}_{11}},\text{ }{{F}_{12}},\text{ }{{F}_{13}}。随后，请定义集合 {{F}_{1}}等于第一个子区间{{F}_{11}}即\left[ 0,\frac{1}{3} \right]并包含在原始区间\left[ 0,1 \right]内。

随后，在{{F}_{13}}中均匀地划分为三个部