数学分析 - 实数集与函數 - 函數概唸 - 复合函

四、复合函数

设有两个函数
\begin{array}{l} y=f(u), u \in D, \\ u=g(x), x \in E . \end{array}

定义集合 E^{*}=\left\{x|g(x) \in D| \cap E\right.. 若 E^{*} 不为空集，则对于每一个属于 E^{*} 的 x，均可经由函数 g 映射至定义域 D 内唯一的数值 u，而该 u 又可通过函数 f 映射到唯一的数值 y。由此可构造出一个以 x 为输入变量、以 y 为输出变量的函数，其定义域为 E^{*}，记作

y=f(g(x)), x \in E^{*} \text { 或 } y=(f \circ g)(x), x \in E^{*},

该函数被称为函数 f 与函数 g 的复合函数。其中，将函数 f 称为外层函数，将函数 g 称为内层函数，而在表达式（2）中出现的变量 u 被称为中间变量。

关于两个函数的复合运算，也可简写为形式$f \