幂级数运算技巧总结

幂级数难题整理

1、求已知函数的幂级数展开式
\frac{{e}^{x}}{1-x}

\begin{aligned} &\text { 解：因为 } & & {e}^{x}=\\ &\text { } & & \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n !}, & & x\in(-\infty,+\infty) \\ &\text { 又 } & & \frac{1}{1-x}=\\ &\text { } & & \sum_{n=0}^{\infty}{x^n}, & & x\in(-1, 1) \end{aligned}
因此，

\frac{{e}^{x}}{1-x}=\\ \left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\cdot\\ \left(\sum_{m=0}^{\infty}{x^m}\right)=\\ \sum_{k=0}^{\infty}\left(\\ \underbrace{ 1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} +\cdots+\frac{1}{k!} }_{k+1项} \right){x^k}, \\ 其中~x~属于~(-1, ）。

$\textcolor{teal}{\left(\