降-多维尺度法(MDS)

多维尺度法（简称MDS）是一种经典的降维技术，在仅有样本间相似性矩阵的情况下可以通过其重建这些样本在欧几里得空间中的坐标位置关系；基于这些距离信息并在此基础上确定低维空间中各样本的相对位置关系！下面将逐步介绍这一方法的独特之处！

一、问题定义

设有m个n维样本在原始空间中构成的距离矩阵为\textbf{D}\in R^{m\times m}, 其中第i,j位置的元素d_{ij}代表样本\mathbf{x}_i与\mathbf{x}_j之间的距离.

我们的目标是在 n^{'} 维空间中对样本进行表征，并使任意两个样本之间的间距，在该 n^{'} 维空间中与原始数据间的距离相等。此处 n^{'} 代表

二、问题建模

为了使讨论更简便，在进行主成分分析时通常会对数据进行标准化处理以便后续分析

基于上式可得\textbf{B}=\{b_{ij}\}为：

鉴于d^2_{ij}为已知值，在此背景下随后面临的问题则转变为基于现有信息确定b_{ii}与b_{jj}的具体表达式？通过执行一些基本的求和运算即