非线性方程的数值解法

许多问题均可归结为转化为求解一元函数方程 𝑓(𝑥)=0；如果f(x)是一个n次多项式，则可称之为n次多项式方程或代数方程。

• 对于𝑛值不大于4的情况（当𝑛 ≤ 4），多项式方程的根能够用求根公式表达；
• 对于𝑛大于等于5的情况（当𝑛 ≥ 5），这些多项式的根无法用显式公式表示，并没有解析解。

若𝑓(𝑥)为超越函数，则称其为超越方程；

求解一元函数方程 𝑓 𝑥 = 0 可大致分为三个步骤：

• 根的存在性： 方程是否存在零点？如果存在零点，则有多少个零点？

  • 根的隔离： 将包含零点的主区间分割为若干个较小的子区间，在每一个子区间内必定包含一个零点或不包含零点；因此，在含有零点的小间隔中的任意一点都可以作为该零点的一个近似值。

  • 根的精确化 : 对某个近似值逐步精确化，以达到一定精度要求。

1. 二分法

原理：

若 f 在[a, b]上连续，且 f (a) · f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上至少有一实根。

基本思路是依次将初始区间[a, b]不断地进行平分；通过考察两端点处函数值的符号变化；进一步缩减有解区间的范围；直至使有解区间的长度缩减至足够小；从而获得满足精度标准的一个近似解x*。

二分法的计算过程：

计算函数𝑓(𝑥)在区间端点𝑎和𝑏处的值𝑓(𝑎)和