离散化连续系统的状态空间方程

差分变换

【将连续系统转换为离散系统的一种方式是通过z变换。该方法主要探讨如何将连续系统的传递函数G(s)转化为对应的离散形式G(z)。其核心在于建立s与z之间的对应关系，通过直接将G(s)中的s替换为z即可完成转换过程。

表达线性连续系统的一种常见方式是使用传递函数

C(s) = \frac{b_0s^{n-1}+...+b_{n-1}}{s^n+a_0s^{n-1}+...+a_{n-1}} \tag{1}

同样，线性离散系统的表达方式之一也是传递函数，其中Z用于表示差分运算

G(s) = \frac{b_0z^{n-1}+...+b_{n-1}}{z^n+a_0z^{n-1}+...+a_{n-1}} \tag{2}

需注意的是zy(z) = y(k+1), z^{-1}y(z) = y(k-1)
重点在于：连续系统传递函数(1)的基本单元是s，而离散系统传递函数(2)的基本单元则是z。实现离散化的关键步骤在于确定s与z之间的映射关系，并据此进行替换操作。

常用的三种对应关系包括：

1. 前向差分变换（T为采样间隔）
   z = 1 + Ts \Rightarrow s = \frac{z - 1}{T}

2. 后向差分变换（T为采样间隔）
   $z = \frac{1}{1 - Ts} \Rig