解析函数的奇点分析

解析函数的奇点

• 奇异点
  • 零点
  • 奇异点与零点之间的共通特性

奇点

奇点\left\{\begin{array}{l} 孤立奇点\left\{\begin{array}{l} 可去奇点\\ m阶奇点\\ 本性奇点\end{array}\right.\\ 非孤立奇点\end{array}\right.

若函数 f(z) 在 z=a 处不具备解析性（不可微或未定义），但在 z=a 的某去心邻域 0<|z-a|<\varepsilon 内具有解析性质，则称 z=a 是 f(z) 的一个孤立奇点。
如果在任意小的邻域中，除了 z=a 之外还存在其他奇点，则称 z=a 是 f(z) 的非孤立奇点。

举例：函数形式为 f(z)=\frac{1}{\sin \frac{1}{z}} ,\quad z=0，该处为非孤立奇点。

孤立奇点的分类

设某一点 a 是函数 f(z) 的孤立奇点，那么在该点的某去心邻域内，函数可展开为Laurent 级数
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}
其中非负幂部分 \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n} 被称为函数在该点的正则部分 ，而负幂