实变函数论第一部分：实变函数论中关于集合及其相关运算的研究；其中第六章讨论了关于集合列上下极限的概念；具体而言；对于任意一个序列；如果存在某个点之后所有项都会反复出现并无限次出现则这些元素构成该序列的上极限集；而如果某个元素在序列中一直保持不变则属于该序列的下极限集

设 A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}, …是任意一列集.

属于上述集列（集合序列）无限多个集合中的元素全体形成的集合被称为该集列的上极限，并记作\color{red}{\overline{\lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}}}或\color{red}{\lim _{n \rightarrow \infty} \sup A_{n}}

\overline{\lim_{n \to \infty}} A_n = \{x : x 属于无限个 A_n 使得 x ∈ A_n\}

读者不难证明

\overline{\lim_{n\to\infty}}A_n=\{x:\text{对于任意}N>0\text{都存在}n>N,\text{使得}x\in A_n\}

对于给定的集列 A_1, A_2, \dots, A_n, \dots ，若除去有限个索引外的所有集合中的元素构成一个共同的子集，则该子集被称为该集列的下极限（infimum），通常用符号 \liminf 表示。其极限可以用以下方式表