高次同余式 number of solutions and method of solution

索引

• （解数）定理1：设{{m}_{1}},{{m}_{2}},\cdots ,{{m}_{k}}\in {{\mathbb{Z}}_{>0}}两两互素，m=\prod\limits_{i=1}^{k}{{{m}_{i}}}，f\left( x \right)是整系数多项式，则
  • • 1-i)：f\left( x \right)\equiv 0\text{ }\bmod m存在解当且仅当方程组f\left( x \right)\equiv 0\text{ }\bmod {{m}_{i}}\left( 1\le i\le k \right)存在解
    • 1-ii)：若f\left( x \right)\equiv 0\text{ }\bmod m在模m下有T个解，且对于任意的1\le i\le k，方程f\left( x \right)\equiv 0\bmod {{m}_{i}}在模{{m}_{i}}下有{{T}_{i}}个解，则满足关系式 T=\prod\limits_{i=1}^{k}{{{T}_{i}}}
    • 例题

  • （解法）定理2（Hensel引理）：设f(x)为整系数多项式，给定k∈{{{\mathbb Z}}_{>1}}, p为素数，并且方程$f(x) ≡ 0