从Semi-Norms（准范数）至Norms（范数）

关于Semi-Norms（准范数）与Norms（范数）的定义及其关联性，为何在已有Norm的情况下仍需引入Semi-Norm，以及二者之间如何实现相互转换，这些问题一直困扰着我在学习过程中。长期以来，我查阅了大量资料，但始终未能找到清晰明确的解释，直到参考了文献【1

一、什么是Semi-Norms（准范数）和 Norms（范数）

定义1.1: (准范数与范数)
设 V 是一个定义在 K=\mathbb R 或 K=\mathbb C 上的线性空间。若存在一个函数，该函数将每个向量 \mathbf x\in V 映射为一个非负实数 p(\mathbf x)，即 \mathbf x 的准范数，并满足以下条件：

1. p(\alpha \mathbf x)=\vert\alpha\vert p(\mathbf x)
2. p(\mathbf x+\mathbf y)\le p(\mathbf x)+p(\mathbf y)

此外，若还满足以下条件：

3. 当且仅当 \mathbf x = 0 时，有 p(\mathbf x) = 0，对所有 \mathbf x \in V 成立，

则该函数被称为定义在 V 上的范数，此时我们记作 $\Vert \mathbf x \Vert = p(\mathbf