区间套定理用于证明实数完备性

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公号文：区间套定理证明其他实数完备性定理

1、区间套定理证明确界原理

\textcolor{teal}{确界原理：即对于任何非空且存在上界的数集S，必然存在上确界；同样，对于任何非空且存在下界的数集S，必然存在下确界}

\textcolor{red}{证}:此处仅对非空有上界的数集S必有上确界的情形进行证明

(1)需要确定一个数值\zeta，使得其成为数集S的上确界。要使\zeta成为S的上确界，则需满足定义中所规定的两个条件：\textcolor{red}{所有大于\zeta的数值都不在集合S中，并且在\zeta的任意邻域内都包含集合S中的元素，这两点即为性质p*}

若将\zeta限定在闭区间[a,b]之中，则该闭区间应具备如下特性：小于a的所有数值都不属于集合S，并且闭区间内至少包含集合S中的一个元素，这一特性即为p*

选取集合S的一个上界作为b,并且b\notin S,再选取a\in S,使得a< b,则闭区间[a,b]具备性质p*;

(2)将闭区间[a,b]均分为两个子区间，则其中至少有一个子区间$$[a_1,b_1]