群论及其在物理中的应用

文章结构概览

• 群与对称性
  • • 群的概念是什么
    • 这与对称性之间存在何种联系
    • 更深入的探讨

群与对称性分析

群的概念解析

群可以被定义为一组操作的集合，该集合需要满足以下特性：

1. 集合中必须 包含一个特定的操作e，其作用相当于不执行任何操作
2. 若集合中存在某个操作a，则必须同时包含另一个操作a^{-1}，使得依次执行这两个操作的结果等同于执行操作e
3. 当集合中包含两个操作a与b时，先执行a后执行b（记作ba）所对应的操作也应当存在于该集合内；同样地，先执行b后执行a（即为ab）所对应的操作也应包含在内
4. 若集合中包含三个操作a, b, c，则(ab)c与a(bc)这两种组合所产生的效果应当一致，并可简写为abc

不过从事数学研究的学者通常不会采用上述表述方式。他们更倾向于将群(Group)描述为满足以下条件的集合G：

1. 封闭性：对于任意两个元素a, b \in G, 其乘积结果 ab \in G
2. (Catalan律)：对于任意三个元素a, b, c \in G, 必有 (ab)c = a(bc) 成立
3. 存在单位元：存在一个元素 $e \