高等数学-不定积分与定积分（七）

不定积分概念解析

此前所探讨的内容主要集中在如何计算函数F(X)的导数，即F’(X)=f(x)。当前已知f(x)，希望找到其对应的原函数F(X)，此类问题即被定义为不定积分问题。

①哪些类型的f(x)能够确保其原函数的存在？若f(x)为连续函数，则必然存在原函数。需注意的是，可导函数必定连续，但连续函数未必可导。
②若f(x)存在一个原函数，则其必然拥有无穷多个原函数。

例如，(sinx)’=cosx，因此sinx是cosx的一个原函数。由于（F(X)+C）’=f(x)，可以得出（sinx+3）’=cosx以及（sinx-20）’=cosx。
由此可见，任何原函数均可表示为F(X)+C的形式。

不定积分定义解析

在区间I内，对于连续函数f(x)，其包含任意常数项的原函数被称为f(x)的不定积分，表示为：
F(X)+C = ∫f(x)dx
其中，∫代表积分符号，f(x)被称作被积函数，而f(x)dx则称为被积表达式，x为积分变量。

例1 计算∫x^2dx
解：由于对x^{3/3进行求导可得x}2，因此x^3/3是x2的一个原函数。由此可得：
∫x^2dx=x3/3+C

由此可见，积分符号∫与微分符号d之间存在互逆关系。当两者同时出现时，能够相互抵消或抵消后仅差一个常数项。具体表现为：
d[∫f(x)dx]/dx = f(