解析函数和复积分

解析函数复积分

• 复积分计算方法
• 利用留数计算实积分

复积分计算方法

假设函数f(z)在区域\mathcal{D}内部解析。如果该区域\mathcal{D}为单连通域，则闭合路径上的积分为零；即：

\oint_{\mathcal{L}} f(z)\,dz = 0

当区域\mathcal{D}为多连通域时，则需从积分路径中排除奇点（即不可导的点）。因此，在这种情形下，解析函数沿闭合路径的积分类似于：

\oint_{C_0} f(z)\,dz = \sum_{k=1}^{n}\oint_{C_k} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}_{z=a_k}(f)

其中涉及留数的部分也相应得到处理。

留数\operatorname{Res}_{z=a}f(z)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C} f(z) \mathrm{d} z=c_{-1}

为了计算方便，当留数奇点种类可知时，

如果一个奇点属于可去类型，则其留数必然是零；而对于本性奇点的情况，则通常需通过Laurent展开来确定系数c_{-1}。当处理一阶极点时，在计算其留数时可采取极限方法：$\operatorname{Res}_{z=b} f(z