Jacob迭代与Gauss–Seidel迭代用于求解线性方程组

解线性方程的迭代法

在处理阶数较低的方程组时，高斯消元法表现出良好的适用性，然而当面对阶数较高且系数矩阵呈现稀疏特性的线性方程组时，则面临较大挑战。在这些矩阵中，非零元素的数量相对较少，若采用直接求解方法，则需要存储大量零元素，这不仅增加了计算负担，也浪费了存储资源。为降低计算量并节省内存空间，采用迭代法更为适宜。迭代法是一种通过某种极限过程逐步逼近线性方程组精确解的方法，在实际应用中具有诸多优势：所需计算机存储单元较少、程序设计较为简便、原始系数矩阵在整个计算过程中保持不变。然而，该方法也存在收敛性以及收敛速度方面的局限性。总体而言，迭代法特别适用于求解规模较大且具有稀疏结构的矩阵方程组。

问题描述

一般的线性方程组可以表示为以下形式：
\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \end{cases}
系数矩阵A通常能够被分解为三个特定矩阵的组合。
A=D-L-U
其中，$D=diag(a_{11},a_{22},...,a_{nn})=\begin{bmatrix}a_{11}&0 & ... &