DFT变换分析及其性质研究

DFT变换性质分析

• 线性特征
  • 时间平移特性
  • 频率平移特性
  • 时域倒置
  • 时域共轭对称
  • 对称特性
  • 卷积特性
  • 帕塞瓦尔定理

线性性质分析

\begin{aligned} y[n]&=ax[n]+bw[n]\xrightarrow{DFT}Y[k]=\sum_{n=0}^{N-1}(ax[n]+bw[n])W_N^{kn}\\ &=a\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn}+b\sum_{n=0}^{N-1}w[n]W_N^{kn} \\ &=aX[k]+bW[k] \end{aligned}

时移性质分析

\begin{aligned} x[n-n_0]&\xrightarrow{DFT}\sum_{n=0}^{N-1}x[_N]e^{-j\frac{2\pi k}{N}n} \\ &\xrightarrow{m=n-n_0}\sum_{m=-n_0}^{N-n_0-1}x[_N]e^{-j\frac{2\pi k}{N}(m+n_0)} \\ &=W_{N}^{kn_0}\sum_{m=0}^{N-1}x[m]W_{N}^{km} \\ &=W_{N}^{kn_0}X[k] \end{aligned}

频移性质分析

$\begin{al