线性代数 Gilbert Strang part

第一课时：方程组的几何解释

线性方程组的两种理解方式：行图像(row picture)、列图像(column picture)

• 行图像：旨在将每个完整方程所对应的图像呈现出来；
  • 列图像：侧重于分析矩阵中各列所代表的向量，将两个方程组合并进行综合考量。采用此种方式的核心目标在于，确定两个列向量经过恰当的线性组合后能够与右侧的向量相匹配。

方程组解的分析与判定

当矩阵为奇异矩阵，亦即无法进行逆运算的矩阵时，从行图像的角度观察，意味着至少存在两个方程所对应的平面呈现平行关系；从列图像的角度分析，则表明至少有两个列向量的方向一致（即不具备线性独立性，可视为同一向量）。在此情况下，只有当向量b位于该向量与另一非共线向量所构成的平面之中时，相应的方程组才具备解的条件。

矩阵与向量相乘的方法

将矩阵 A 与向量 x 的相乘过程，理解为矩阵各列的线性组合形式，是一种被广泛提倡的方式：

* 当右侧列向量与矩阵相乘时，其本质是将矩阵中每一列向量按照特定系数进行线性叠加，最终所得结果仍为一个列向量  

* 若左侧行向量与矩阵相乘，则可将其视为对矩阵各行向量实施线性组合运算，所得结果则为行向量  

• 原始点积运算方式

第三课时：矩阵乘法、矩阵的逆

矩阵