《高等代数学》（姚慕生）：第1章复习题 第2题

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题目

计算如下矩阵的行列式值：
\left| A \right|=\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right|.

解答

【通过分析发现，在每列j\left( =1,2,3,4 \right)中，各行所出现的常数项要么统一为1，要么统一为-1。因此，可以通过列间的加法操作实现相互抵消，从而得到

\left| A \right|=\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{{{c}_{3}}\to {{c}_{4}},\text{ }{{c}_{2}}\to {{c}_{3}},\text{ }{{c}_{1}}\to {{c}_{2}}.} \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 1 & 0 & x & x \