MIT 线性代数笔记 06 列空间及其相关子空间

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

Lecture 6: Column space and nullspace
课程 6：列空间和零空间

子空间(Subspace)

• 若非空集合 S \subset \mathbb{R}^n，且其中的元素满足加法与数乘运算的封闭性（即，对于任意 u,v \in S，有 u+v \in S，以及对于任意常数 \lambda，有 \lambda u \in S），则该集合构成 \mathbb{R}^n 的子空间。

• 假设 V, W 是某个向量空间的子空间，则它们的交集 V \cap W 同样属于该向量空间的子空间（显然满足加法与数乘封闭性）。然而，并不能保证并集 V \cup W 必然为该向量空间的子空间。这是因为并集中可能存在某些元素不满足加法或数乘封闭性。例如，在 \mathbb{R}^3 中考虑一个过原点的平面 P 和一条过原点的直线 L。若从 P \cup L 中分别选取属于平面和平面外直线中的两个向量进行相加，则其结果可能并不在该并集中。因此，并集并非一个有效的子空间。

列空间(Column space)

• 矩阵 A 的所有列向量通过线性组合所构成的空间称为矩阵 $