小波的秘密_多分辨率分析与连续小波变换

1.前言

尽管时间与频率分辨率的局限性源于一种物理现象（海森堡不确定性原理），并且无论采用何种变换方式都会存在，但通过一种被称为多分辨率分析（MRA）的替代方法，仍可对任意信号进行分析。正如其名称所暗示的那样，MRA能够以不同的分辨率对信号的不同频率成分进行解析。与STFT中各频谱分量被同等解析的情况不同，MRA并非对所有成分都采取相同的解析方式。

MRA的设计理念在于：在高频区域提供较高的时间分辨率而较低的频率分辨率，在低频区域则提供较高的频率分辨率而较低的时间分辨率。这种方法在处理具有短时高频和长时间低频特征的信号时尤为适用。幸运的是，在实际应用中所遇到的信号大多具备这一特性——即在较长时间内呈现低频特征，而在某一短暂时间段内出现高频成分。例如，以下所示的信号即属于此类情况：在整个信号过程中主要表现为相对较低频率的成分，而在中间某段区域则出现了持续时间较短但频率相对较高的成分。

2.连续小波变换

连续小波变换作为一种替代短时傅里叶变换的方法被提出，旨在解决其在分辨率方面的局限性。小波分析的实施方式与短时傅里叶变换类似，即信号会与一个类似于短时傅里叶变换中窗函数