数学分析(一)-实数集与函数4-具有某些特性的函数1：有界函数 设f在D上有定义，则若存在数M使得对于任意x∈D都有f(x)≤M，则称f在D上有上界

本节内容将对若干具备特定性质、后续研究中频繁应用的函数类型进行阐述。

一、有界函数

定义1的阐述

设 f 是定义在集合 D 上的一个函数。若存在某个数值 M(L)，对于所有属于 D 的元素 x，均满足

f(x) \leqslant M(f(x) \geqslant L),

则称该函数 f 在集合 D 上具有上（下）界性质，而数值 M(L) 被称为函数 f 在集合 D 上的一个上（下）界。

依据上述定义可知，当函数 f 在集合 D 上具有上（下）界时，其对应的值域集合 f(D) 也必然是一个具有上（下）界特征的数集。此外，若某数 M(L) 被确定为函数 f 在集合 D 上的上（下）界，则所有大于（小于）该数的数值同样可以作为函数 f 在集合 D 上的上（下）界。

定义 2

【设 f 为在集合 D 上定义的函数。如果存在某个正实数 M，使得对于所有 x \in D，都有

|f(x)| \leqslant M,

则称该函数 f 在集合 D 上为 有界函数。

依据上述定义，若函数 f 在集合 D 上是有界的，则其值域 f(D) 必定构成一个有界集合。进一步分析可知，函数在集合 D 上具有有界性的充要条件是其同时