《实变函数简明教程》P79, 18题（依测度收敛推导几乎处处收敛）

《实变函数简明教程》，P79，第18题（依测度收敛 推导 几乎处处收敛）

• 题目：P79，18
  • 解答

题目：P79，18

若序列\left\{ {{f}_{k}} \right\}在集合E上按照测度收敛至函数f，并且对于几乎所有x \in E，满足{{f}_{k}}\left( x \right)\le {{f}_{k+1}}\left( x \right)（其中k=1,2,\cdots），则需证明该序列\left\{ {{f}_{k}} \right\}在集合E上几乎处处收敛于函数f。

解答

【由于\left\{ {{f}_{k}} \right\}在E上依测度收敛于f，根据教材第72页的定理3.12（F. Riesz定理），可以确定存在一个子列\left\{ {{f}_{{{k}_{i}}}} \right\}，使得其在E上几乎处处收敛于f，即

存在零测集${{E}_{1}}$，对于所有$x \in E \backslash {{E}_{1}}$，有$\left\{ {{f}_{{{k}_{i}}}}\left( x \right) \right\}\to f\left( x \right)$. \tag{P79-18-1}

另一方面，根据题设条件，