线性方程组数值解法

1.向量与矩阵的范数 /* Norms of Vectors and Matrices */

【为探究线性方程组数值解法中的误差估计及迭代法的收敛特性，有必要引入向量范数与矩阵范数的概念。

1. 欧式范数

设𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛) 𝑇，𝒚 = (𝑦1, 𝑦2, …, 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛，定义(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝑻𝒚 = 𝒚𝑻𝒙 = 累加1-n的𝑥𝑖𝑦𝑖 为向量𝒙与𝒚之间的内积。非负实数 ||𝒙||2= 根号(𝒙, 𝒙) = 累加1-n的𝑥𝑖2 的1/2次方则称为向量𝒙的欧式范数。

2. 向量的范数 /* vector norms */

假设𝑓(𝒙) = ||𝒙|| 是定义在𝑛维实空间ℝ𝑛上的实值函数，若满足以下条件：
（1）正定性：对于任意𝒙 ∈ ℝ𝑛，有 ||𝒙|| ≥ 0，并且当且仅当𝒙 = 0时，||𝒙|| = 0。
（2）正齐次性：对于任意实数𝑎 ∈ ℝ和任意向量𝒙 ∈ ℝ𝑛，有 ||𝑎𝒙|| = |𝑎| ∙ ||𝒙||。
（3）三角不等式：对所有向量𝒙、𝒚 ∈ ℝ𝑛，均有 ||𝐱 + 𝐲|| ≤ ||𝐱|| + ||𝐲||。
则称𝑓(𝐱) = ||𝐱