初等数论第2章不定方程学习笔记

索引

• 二元一次不定方程
  • • 定义1：a,b,c\in \mathbb{Z}，a,b不全为0，称ax+by=c是二元一次方程。
    • 定理2.1：对于二元一次不定方程ax+by=c，其存在整数解的充要条件是\left. \gcd \left( a,b \right) \right|c。
    • • 推论1: 若a,b\in \mathbb{Z}且不全为0，则存在x,y\in {{\mathbb{Z}}_{}},\text{ }s.t.\text{ }ax+by=1\text{ }\Rightarrow \text{ }\gcd \left( a,b \right)=1，由此可得\exists x,y\in {{\mathbb{Z}}_{}},\text{ }s.t.\text{ }ax+by=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\gcd \left( a,b \right)=1
      • 推论2: 若a,b,c,d\in \mathbb{Z}\text{ }\And \text{ }ab+cd=1\text{ }，则有以下结论成立：
        $\left{
        \begin{aligned}
        & \gcd(a,c)=