实变函数论中讨论集合及其运算时涉及 lim sup 和 lim inf 的概念。其中 lim sup A_n 表示为 ⋂ ⋃ A_m ，即先取每个 m 从某个点之后的所有 A_m 的并集后再取所有这些并集的交集；而 lim inf A_n 则是 ⋃ ⋂ A_m ，即先取每个 m 从某个点之后的所有 A_m 的交集后再取所有这些交集的并集

上、下极限还可以用交集与并集来表示

定理3

上限集合

\begin{equation}\overline{\limsup}_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m\end{equation}

下极限集

\begin{equation}\liminf _{n\to +\infty }\underline{A_n}= \bigcup _{n=1 }^{\infty }\bigcap _{m=n }^{+\infty }\underline{A_m}}\end{equation}

\begin{equation}\liminf _{n\to +\infty }\underline{A_n}= \bigcup _{n=1 }^{\infty }\bigcap _{m=n }^{+\infty }\underline{A_m}}

![在这里插入图片描述](https://ad.itadn.com/c/weblog/blog-img/