机器学习的数学函数空间

数学的空间

数学中的空间概念是指研究的对象以及所遵循的规范。其中既包含基本元素以及附加结构。
在具体实例中可以看到，在线性空间中我们主要定义了线性运算；而在拓扑空间中则必须具备距离度量、向量范数以及开集体系三种基本要素

距离

范数被称为具有‘长度’内涵的函数。
它们均可用于衡量向量之间的差异程度。我们可进一步探讨不同的计算方法。

• d1(x,y)=sqrt((x1-y1)^2 + … + (xn-yn)^2)
• d2(x,y) = max{|x1-y1|, …, |xn-yn|}
• d3(x,y) = |x1-y1|+ …+ |xn-yn|

距离、范数也可以指曲线的距离 ，即函数f(x)到函数g(x)的距离：

• d1(f,g) = ∫ (f(x)-g(x))^2 dx
• d2(f,g) = max |f(x)-g(x)|
• d3(f,g) = ∫ (f(x)-g(x))^k dx
  以上x都定义在[a,b]之间

下一步我们将集中阐述抽象的距离概念。我们需要理解这样的对象如何具有其本质特征，并从中提取关键属性；当面对的对象不具备具体特征时（即属于抽象类别），我们则采用通用的方法来描述其本质特征并舍弃不必要的细节。

距离的定义 ：

设