实变函数论中第1章第5节关于无限集第1小节中的第5条定理指出：其中A是一个可列集而B是一个有限或同样也是可列的集合作用，则A∪B也是一个同样最多仅能计数的数量

接下来我们将探讨以可数集合为起点，通过执行加法操作能够生成哪些类型的集合。

定理3

设 A 为可数集合， B 为有限或可数集合，则 A \cup B 亦为可数集合。

证明
(1)首先假设 A \cap B = \varnothing .

由于任何可数集合均可排列为无限序列，不妨令 A = \left\{ a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots \right\} , B = \left\{ b _ { 1 } , b _ { 2 } , \cdots , b _ { n } \right\}（当 B 是有限集合时）或 B = \left\{ b _ { 1 } , b _ { 2 } , \cdots , b _ { n } , \cdots \right\}（当 B 是可数集合时）。在 B 为有限的情况下，将所有元素排列在前，而将 A 的元素排列于后。

此时，有 A \cup B = \left\{ b _ { 1 } , b _ { 2 } , \cdots , b _ { n } , a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots \right\} ;

而在 B 可数的情形下（采用交错方式排列），则有：

$A \cup B = \left{ a _ { 1 }