梯度方向与等高面/线的关系及证明

1、梯度的定义

多元函数f(x)各个偏导数共同作用形成的向量集合，在数学中被定义为梯度向量。

2、证明

考虑多元函数F(\mathbf{x}) ，其中：

\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}

依据等高面（线）的定义，在同一等高面上的所有点处函数值相等。因此：

F(\mathbf{x}) = c

假设以上述参数曲线\mathbf{r}(t) = [x_1(t), x_2(t), ..., x_n(t)]^T 位于该等高面上，则有：

F(x_1(t), x_2(t), ..., x_n(t)) = c

对其两边求导得：

\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial F}{\partial x_1}\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial F}{\partial x_2}\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t} + ... + \frac{\partial F}{\partial x_n}\frac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = 0

将其向量