线性代数 by Gilbert Strang

第二十六课时：对称矩阵和正定性

本节研究对称矩阵的特征值和特征向量。

对称矩阵 的性质：

• symmetric 矩阵的所有特征值都是实数

  • 在选择一组对应于该矩阵的特征向量时, 这些向量之间相互正交

• 如果各特征值互不相同，则对应的各个特征向量分别位于独立的一条直线上，并且这些直线彼此之间相互垂直且正交；

• 如果存在重复的特征值，则会有一个平面上的所有可能的特征向量，在这个平面上我们可以选取一组相互垂直的标准基底；

• 将这一组基底通过施密特正交化过程转化为标准正交基底，并由它们组成的矩阵即为标准正交矩阵。

  • 对于复矩阵的情形，则不仅需要转置等于自身（即对称矩阵），还需要满足共轭转置等于原矩阵（即Hermite矩阵）。

在一般情况下, 矩阵 A 即表示为 A = S\Lambda S^{-1}；
当 A 作为对称时, 矩阵 A 表示为 A = Q\Lambda Q^{-1} = Q\Lambda QT；
这被称为谱定理；其中谱指的是该矩阵的所有特征值组成的集合。

证明：实对称矩阵的特征值是实数

令 \lambda, x 分别为对称矩阵 A 对应的特征值及其对应的特征向量，则满足关系式 Ax = \lambda x. 对方程两边取复数共轭得 $\overline{A}\overline{x} =