泛函分析基础7-1-度量空间3-连续映射3：度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射当且仅当Y中任意开集M的原像是X中的开集

有关连续映射的相关理论如下

定理2

在度量空间 X 到 Y 的映射 T 中，若其为 X 上的连续映射，则其充要条件为：对于 Y 中任意一个开集 M，其在 T 下的原像 T^{-1} M 必须是 X 中的一个开集。

证明
必要性
假设映射 T 具备连续性，且集合 M \subset Y 是一个开集。若原像集合 T^{-1} M = \varnothing，则显然该集合属于开集范畴。反之，若原像集合不为空，则对任意一点 x_0 \in T^{-1} M，令对应点为 y_0 = T x_0，则有 y_0 \in M. 由于集合 M 本身为开集，因此可以找到以点 y_0 为中心、半径为 \varepsilon^- 的邻域记作 U, 满足条件：该邻域完全包含于集合内。根据映射的连续性质可知，存在以点 x_0 为中心、半径为 \delta^- 的邻域记作 V, 满足关系式：

V \subset T^{-1} U \subset T^{-1} M,

由此可得点 x_0\in X\setminus T^{-1} M, 即说明该点是原像集合的一个内点。结合对所有这样的点都成立的事实可知，整个原像集合必然是一个开集。

充分性
若对于所有位于度量