在《实变函数》第四章讨论Lebesgue积分时,证明了非负可测函数列的Lebesgue积分极限为零

非负可测函数列Lebesgue积分极限与依测度收敛关系

• 需要进行解析的命题
  • 推导与验证步骤

待分析命题

设\left\{ {{f}_{k}} \right\}为定义在E上的非负可测函数序列。当k趋于无穷时，若积分\int_{E}{{{f}_{k}}\left( x \right)dx}的极限值为零，则函数列{{f}_{k}}在集合E上按照测度收敛至零。

证明过程

对于任意k，由于{{f}_{k}}是在可测集E上定义的可测函数，依据教材第59页定义3.1的内容，
集合E\left( \left| {{f}_{k}} \right|\ge \delta \right)是E的一个可测子集。
再结合教材第62页定理3.4的结论，可知
非负函数{{f}_{k}}在集合E\left( \left| {{f}_{k}} \right|\ge \delta \right)上的限制依然是一个可测函数，
因此Lebesgue积分
$\int_{E}{{{f}{k}}\left( x \right)dx},\text{ }\int{E\left( \left| {{f}{k}} \right|\ge \delta \right)}{{{f}{k}}\left( x \righ