概率论与数理统计教程（四）-大数定理与中心极限定理01：两种收敛方式

§ 4.1 随机变量序列的两种收敛性
随机变量序列的收玫性有多种,其中常用的是两种:
依概率收玫和按分布收玫.本章讨论的大数定律涉及的是一种依概率收玫,
中心极限定理涉及按分布收玫. 这些极限定理不仅是概率论研究的中心议题,
而且在数理统计中有广泛的应用.
本节将给出这两种收玫性的定义及其有关性质,读者应从中吸收其思考问题的方法.
4.1.1 依概率收敛
在第一章用频率确定概率时, 我们提出 “概率是频率的稳定值”, 或
“频率稳定于概率”.现在我们来解释 “稳定” 的含义及其数学表达式.
设有一大批产品, 其不合格品率为 p. 现一个接一个地检查产品的合格性, 记前
n次检查发现 S_{n} 个不合格品, 而 v_{n}=S_{n} / n
为不合格品出现的频率. 当检查继续下去, 我们就发现频率序列
\left\{v_{n}\right\} 有如下两个现象:
(1) 频率 v_{n} 对概率 p 的绝对偏差 \left|v_{n}-p\right| 将随 n
增大而呈现逐渐减小的趋势, 但无法说它收玫于零.
（2）由于频率的随机性, 绝对偏差 \left|v_{n}-p\right| 时大时小.
虽然我们无法排除大偏差发生的可能性, 但随着 n 不断增大,
大偏差发生