复变函数论 1.1. 复数 3.4. 两复数相乘与相除：两个复数相乘等于模长相乘指数形式相加 z₁z₂ = r₁r₂ e^{i(θ₁+θ₂)} ，两个复数相除等于模长相除指数形式相减 z₁/z₂ = (r₁/r₂) e^{i(θ₁−θ₂)}

当 z=x+\mathrm{i} y \neq 0 时, 记 \arg z=\theta (主值), 则

该恒等式表明半角正切等于相应三角函数比值，并可表示为与半径相关的比例关系

所以

\arg z=\theta(\text { 主值 })=2 \arctan \cfrac{y}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}} .

对于 z_{1}=r_{1} \mathrm{e}^{\theta_{1}}, z_{2}=r_{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta_{2}}, 则

z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow r_{1}=r_{2}, \theta_{1}=\theta_{2} \text { (或 } \theta_{1}=\theta_{2}+2 k \pi, k \text { 为整数). }

利用复数的指数形式作乘除法较简单. 因由

当两个复数指数函数相乘时，可以表示为它们角度之和的指数函数；而进行除法运算时，则对应于角度差的指数函数。

可立得

该式表明复数相乘时其模长相乘幅角相