复变函数论第一章第一节复数第三节复数的表示形式即三角形式z=r(cosθ+isinθ)单位复数即为z=cosθ+isinθ其中r=1欧拉公式为eⁱᶿ=cosθ+isinθ

从直角坐标与极坐标的联系, 我们可以用复数的模 r 和辐角 θ 来表征非零复数 z, 即(如图 1.1)

z=r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) .

特别, 当 r=1 时有

\color{red}{z=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta}

这种复数称为单位复数.

我们有如下的欧拉公式 :

\color{red}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta}

容易验证

\begin{array}{l} 这两个复数相乘的结果等于它们角度之和对应的指数形式, \\ 这两个复数相除的结果等于它们角度之差对应的指数形式. \end{array}

借助公式\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+i\sin\theta ，就可以将z=r(\cos\theta+i\sin\theta)表示为

z=r \mathrm{e}^{i\theta}

也就是说,任一非零复数 z 总可以表示成

z=|z| \mathrm{e}^{i \text {arg}z},

这里的 \arg z 不必取主值.

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