Explain the concept of Hamming codes through examples.

实例说说汉明码

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一个(n,k)码表示将信源序列分割为长度为k的块，经过编码后变为长度为n的序列，因此信道传输速率为k/n。本文中所涉及的信道为二进制对称信道（BSC），其单个比特的误码率p小于1/2。

假定信道传输速率为R=4/7，即在每个单位时间内，信源能够生成4个比特的信息，而信道可以发送7个比特的数据。这意味着在每个单位时间里，除了传输4个原始比特外，还可以附加发送3个冗余比特。假设这四个来自信源的比特分别为x0、x1、x2和x3，而额外添加的三个比特则为x4、x5和x6。这些附加比特由以下公式决定：

x4 = x1 + x2 + x3 (mod 2)

x5 = x0 + x2 + x3 (mod 2) (1)

x6 = x0 + x1 + x3 (mod 2)

例如，当(x0, x1, x2, x3) = (0110)，则(x4, x5, x6) = (011)，此时通过信道传输的所有7个比特组成的码字即为0110011。

接下来将式(1)进行重新表述：（这一过程较为直观，例如将x4视为由x1、x2和x3在模运算下得出的结果，则表达式中的项如x1+x2+x3 -x4必然是模数的整数倍，在二进制系统中，减法与加法的效果相同，因为仅保留最低位）

由此可得：

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

x0 + x2 + x3 +