实变函数论中的定理6：设{A_i}（i=1,…,n）为至多可数集，则直积A = A₁×…×Aₙ也是至多可数集。有限个至多可数集的直积仍是由平面上坐标为有理数的所有点构成的集合的一个至多可数类。

定理6

设 A _ { i } 为可数集合 ( i = 1 , 2 , \cdots , n ) , 则 A = A _ { 1 } \times A _ { 2 } \times \cdots \times A _ { n } 同样为可数集合。

证明
采用数学归纳法进行论证。

当 i = 1 时，命题显然成立。

假设对于 A _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n - 1 ) 均为可数集合的情形，结论已经成立，即 A = A _ { 1 } \times A _ { 2 } \times \cdots \times A _ { n - 1 } 是一个可数集合。

已知 A _ { n } 是可数的，因此可以将其表示为 \left\{ x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { k } , \cdots \right\} .

定义 \hat { A } _ { k } = A _ { 1 } \times A _ { 2 } \times \cdots\times A _ { n - 1 }\times\left\{ x_k\right\} ，则 \hat{A}_k 和 $A_1\times A_2\times\cdots\times A_{n-1}