抽样定理

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如果想要利用数字信号处理系统来处理模拟信号，则必须首先将模拟信号转换为数字形式，并且同时必须确保在转换过程中不丢失原 Signal 的关键特征。在此情境下，则需要对方框中的原始模拟 Signal 进行采样处理, 使其转化为离散时间序列。

现有一带限信号1 $f(t)$ ,最高频率为 $f_m$ ,现对该信号进行抽样.

我们采用了一系列的脉冲函数δ(t-nTs)对时间序列 $f(t)$ 实施采样操作,其中抽样周期为Ts

$f_{after}(t)=f(t)\cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s)$

基于Fourier变换在时域中的乘法特性，在时域中进行相乘操作，在频域中相当于执行卷积运算。其中定义频率间隔 $\omega_s = \frac{2\pi}{T_s}$ 。
信号 $F_{ater}(\omega)$ 经过傅里叶变换后与冲激序列进行卷积运算得到：

F_{ater}(\omega) = \frac{1}{2\pi}\left[F(\omega) * \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega - n\Omega_s)\right]

单位冲激函数 $\delta(t)$ 具有筛选作用：

f(t) * \delta(t - t_0) = f(t - t_0

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