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变换矩阵合并方法

本篇内容旨在归纳关于矩阵乘法的相关思考。

是否存在一种矩阵形式，能够实现点的平移与旋转操作？换句话说，PTR是否可以表示为p(TR)？

此问题实际上等同于判断变换矩阵是否满足乘法结合律。答案是明确的，以下将进行证明，为便于表述，采用二维齐次坐标系进行分析。

接下来简要阐述矩阵乘法的一些基本特征：

• 所得矩阵的行数等于第一个矩阵的行数
• 所得矩阵的列数等于最后一个矩阵的列数
• 矩阵相乘可视为各维度分量与对应系数相乘后的总和

结合律证明分析

设存在三个矩阵A,B,C，其相乘形式表示为ABC。
该乘积矩阵中位于第i行第j列的元素，是由矩阵A的某一行依次与矩阵B相乘后再与矩阵C的某一列进行运算所得。

将问题简化为判断这三个矩阵是否符合结合律：

针对x, y, w这三个分量的总和，只需对其中一个分量进行分析即可。

以x为例，在第一次乘法运算后所得到的系数向量为
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{bmatrix}
在完成第二次乘法运算后，所获得的系数表达式为
a_{11} \cdot i+a_{12} \cdot j+a_{13} \cdot k

这一过程等同于先与后方矩阵相乘，再与自身进行运