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相似矩阵(Similar Matrixces)

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相似矩阵(Similar Matrixces)

下文所提及公式的几何意义,建议查阅本人博客:矩阵对角化(Diagonalizing a Matrix)

关于基变换的几何意义,可参考本人博客:3Blue1Brown系列:基变换

相似矩阵本质上代表了同一线性变换在不同基或坐标系下的表达形式,其描述的是相同的几何空间,但通过选择合适的基,能够使相关运算更加简便(引自线性代数再回首之——第五章 相似矩阵及二次型

对于可以进行对角化的矩阵A
其对应的特征值构成的矩阵为 \Lambda,而由特征向量组成的矩阵为 X
满足关系式 A=X\Lambda X^{-1}
此时矩阵 A\Lambda 之间存在相似关系,记作 A\sim \Lambda
其中矩阵 X 被称为连接矩阵 A\Lambda 的相似变换矩阵

对于无法进行对角化的矩阵A
引入一个常数矩阵 C(不一定等于 \Lambda
构造的矩阵 B 的列向量不一定是特征向量,但必须具备可逆性
满足关系式 A=BCB^{-1}
此时矩阵 A 与矩阵 C

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