正定矩阵、半正定矩阵、负定矩阵的通俗理解

Agenda

• 0. 二次型
  • 1. 分别定义了H为正值（正定）、非负值（半正定）以及负值（负定）的情形。
  • 2. 深入探讨了这些特殊类型的二次型所蕴含的核心内涵。
  • 3. 研究了判断一个二次型是否为正值、非负值及负值的有效方法及其特性。
  • 4. 分析并总结了判别半正值二次型的关键步骤及其相关性质。

0. 二次型

在讲正定矩阵这些概念的时候，我们首先要讲的就是二次型。

简单来说，形如x^{'}Ax这样的式子就是二次型，其中x是列向量，A是方阵。

1. 正定矩阵，半正定矩阵，负定矩阵的定义

从教材中可以看出其定义为每个非零向量x满足x^{'}Ax>0。同样地，在这种情况下, 半正定矩阵要求x^{'}Ax\geq 0; 而负定矩阵则要求x^{'}Ax< 0。

2. 如何理解正定矩阵等

通过重新排列运算顺序将矩阵表达式转化为x^{\prime} A x = x^{\prime}(A x), 并当我们回溯相关的矩阵知识时, 提到当矩阵作用于向量x时相当于对其进行缩放和平移变换. 这样一来, 我们便有x^{\prime} A x = (x^{\prime})(A x) = (x^{\prime}) y. 接着, 我们回忆起几何学中关于点积的知识: $cos\alpha=\f