素数模下同余式的次数与解的数量之间的关系

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• 前言
  • 多项式带余除法
  • • 定理1：设\begin{aligned} & P\left( x \right)={ {a}_{n}}{ {x}^{n}}+{ {a}_{n-1}}{ {x}^{n-1}}+\cdots +{ {a}_{1}}x+{ {a}_{0}} \\ & M\left( x \right)={ {b}_{m}}{ {x}^{m}}+{ {b}_{m-1}}{ {x}^{m-1}}+\cdots +{ {b}_{1}}x+{ {b}_{0}},\text{ }{ {b}_{m}}\ne 0 \\ \end{aligned}，则存在两个多项式Q\left( x \right),R\left( x \right)，使得P\left( x \right)=Q\left( x \right)M\left( x \right)+R\left( x \right)，其中\deg R\left( x \right)<\deg M\left( x \right)，并且Q\left( x \right)和R\left( x \right)均为唯一。
    • 推论：若P\left( x \right)为整系数多项式，而M\left( x \right)为首一整系数多项式（即{{b}_{m}}=1），则存在唯一