在《复变函数论》中讨论了两个复数相乘相除的情况：将它们视为向量，则其旋转向量的方向满足逆时针为正、顺时针为负；而将其视为向量进行运算的性质与内积、外积不同。

当 z=x+\mathrm{i} y \neq 0 时，定义 \arg z=\theta（主值），则有

\tan \cfrac{\theta}{2}=\cfrac{\sin \theta}{1+\cos \theta}=\cfrac{r \sin \theta}{r+r \cos \theta}=\cfrac{y}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}},

由此可得

\arg z=\theta(\text { 主值 })=2 \arctan \cfrac{y}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}} .

对于 z_{1}=r_{1} \mathrm{e}^{\theta_{1}}, z_{2}=r_{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{2}}，满足

z_{1}=z_{2} 当且仅当 r_{1}=r_{2} 且 \theta_{1}=\theta_{2}（或 \theta_{1}=\theta_{2}+2 k\pi, k 为整数）。

借助复数的指数形式进行乘除运算更为简便。由于存在如下关系：

$\left.\begin{array}{l}
\mathrm{e}^{{i\theta_1}\mathrm{e}}{i\theta_2}= \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta